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MatNoble | 数学教师的排版与可视化随笔

这里是 MatNoble 的个人空间。作为一名从程序员转型的大学数学教师，我在这里分享利用 Manim 进行数学可视化、LaTeX 专业排版以及大数据技术的心得。致力于用代码逻辑解读数学之美。

星辰尚亮，岁月还长

此间相逢，唯你与我

MatNoble 博客：专注 Python 数学可视化 (Manim)、LaTeX 科技排版、人工智能与大数据技术 (Spark) 分享。致力于通过原创教程与实战案例，消除数学与代码之间的认知壁垒。

Gram 矩阵

 531  2 分钟
Gram 矩阵 假设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阶矩阵, 列向量 Gram 矩阵 $A$ 由列向量 $\mathbf{\alpha}_i$ 表示, 即 $$A=\begin{bmatrix}\mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_2 &\cdots & \mathbf{\alpha}_n \end{bmatrix}$$ 则 $$ \begin{aligned} G &= \, A^{\mathsf T}A \\[3pt] &= \begin{bmatrix} \mathbf{\alpha}_1^{\mathsf T} \\ \mathbf{\alpha}_2^{\mathsf T} \\ \vdots \\ \mathbf{\alpha}_n^{\mathsf T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_2 & \cdots & \mathbf{\alpha}_n \end{bmatrix} \\[3pt] & = \begin{bmatrix} \mathbf{\alpha}_1^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_1^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_2 & \cdots & \mathbf{\alpha}_1^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_n \\ \mathbf{\alpha}_2^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_2^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_2 & \cdots &\mathbf{\alpha}_2^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{\alpha}_n^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_n^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_2 & \cdots & \mathbf{\alpha}_n^{\mathsf T}\mathbf{\alpha}_n \end{bmatrix} \end{aligned} $$ 行向量 Gram 矩阵 $A$ 由行向量 $\mathbf{\beta}_i^{\mathsf T}$ 表示, 即 $$A=\begin{bmatrix}\mathbf{\beta}_1^{\mathsf T} \\ \mathbf{\beta}_2^{\mathsf T} \\ \vdots \\ \mathbf{\beta}_m^{\mathsf T} \end{bmatrix}$$ 则 $$ \begin{aligned} G &= \, AA^{\mathsf T}……
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矩阵的四个基本空间的基底

 1044  3 分钟
之前介绍过矩阵有四个基本空间 并且有两组正交关系 有了空间，若想继续研究，就需要找一些 ..代表.. ，即 ..基底.. 普通基底 本小节用到的技术手段很简单－－ ..初等行变换.. 假设有任意 $m\times n$ 阶矩阵 $A$，经过一系列..初等行变换..得到行阶梯型矩阵 $R$．因为这一系列初等行变换可对应地表示为一系列初等矩阵的乘……
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线代视角下的最小二乘法

 2922  6 分钟
本文核心观点 (Key Takeaways) 核心直觉：最小二乘法的本质是寻找“影子”。当向量 $\boldsymbol{b}$ 不在矩阵列空间内时，我们在空间中找离它最近的那个投影点。 关键计算：记住正规方程 $\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{A}^\mathsf{T}\boldsymbol{b}$，它是解决无解方程组的瑞士军刀。 数学美感：误差向量 $\boldsymbol{e}$ 必须垂直于列空间 $C(\ma……
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矩阵的四个基本空间, 不了解下吗?

 1110  3 分钟
秩-零化度定理告诉我们: $m\times n$ 阶矩阵 $A$ 的零空间(Nullspace) $N(A)$ 和列空间(Column sapce) $C(A)$ 的关系: $$ n = \dim N(A) + \dim C(A) $$ 本次依据秩-零化度定理, 介绍四个基本空间, 并证明它们的正交性关系, 最后, 给出一道经典例题. 四个基本空间 将矩阵 $A$ 行列互换, 称为 $A$ 的转置, 记为 $A^{\mathsf T}$. 则对应的: $C(A^{\mathsf T})$ 表示 $A$ 的行空间(Row space),……
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秩-零化度定理(Rank-Nullity Theorem)

 1407  3 分钟
在人工智能, 机器学习, 深度学习的浪潮中, ..数学.. 知识的发展与应用起着至关重要的作用. 线性代数(高等代数)不同于微积分(数学分析), 线代是不断前进发展的学科, 在实际应用中产生新问题回馈到教学中, 而后教学又可以促进实际应用. 「秩-零化度定理」 如下图所示, 线性变换 $T$ 从有限维向量空间 $\mathcal{V}$ (定义域)映射到有……
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LaTeX 矩阵转置符输入指南

 190  1 分钟
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矩阵对角化那些事

 1553  4 分钟
所有矩阵都可以对角化吗? 前几天某好友同学, 参加了某度算法岗的面试, 问了很多问题, 其中就有这么一个基础数学的问题: ..所有矩阵都可以对角化吗?.. 实际上, 我立马就可以想出一个反例: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ A 矩阵不可以对角化, 因为: 求特征值 显然特征值为 $$ \lambda_1 = \lambda_2 =1. $$ 求对应的特征向量 $$ {\rm x}_1 = {\rm x}_2 = k\begin{bmatrix} 1 \\ 0……
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LaTeX 间距调整指南：7种常用命令

 451  1 分钟
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在 LaTeX 默认的排版规则中，系统会自动处理大部分字符间的空隙。然而，在处理复杂的数学公式（如积分、微分算子）或特定的文本对齐时，默认间距往往显得不够精致。

“排版之美，在于留白。” 精准地控制水平间距，不仅能消除公式的拥挤感，还能引导读者的视线，使文档看起来更加专业和赏心悦目。本文为您总结了最常用的几种水平间距控制命令。

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LaTeX 引号输入指南

 297  1 分钟
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有限元简述(5)：有限元基函数与网格划分

 1764  4 分钟
◎ 简述有限元: 逼近函数 IV 上期回顾 程序 例题 1 利用拉格朗日多项式做基函数编程实现: 设函数 $f(x)=10(x-1)^2-1$, 在线性函数空间中找到最佳逼近函数 $u(x)$, 求解域 $\Omega = [1, 2]$, 两个真解点为: $x_0 = 1+1/3, x_1 = 1+2/3$. ◎ 简述有限元: 例题 1 ◎ 简述有限元: 例题 1 结果展示 主程序 f = @(x)(10*(x-1).^2 - 1); syms x psi = [1, x]; points = [1+1/3, 2-1/3]; [ A, b ] = interpolation( f, psi, points ); c = A\b; u = psi*c; % 可视化 omega = [1, 2]; X = omega(1) :……
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