◎ 特征值：寻找变换中的不变轴

引言

如果说矩阵是线性空间的“运动描述”，那么特征值与特征向量就是这个运动的“骨架”与“灵魂”。

1. 寻找“不变”的轴

一个矩阵 $\mathbf{A}$ 作用于向量 $\boldsymbol{x}$，通常会同时改变向量的方向和长度。 但在茫茫向量海中，总有那么几个“天选之子”，它们被矩阵变换后，方向竟然保持不变（只伸缩，不旋转，特指实特征值情况）。 这些“天选之子”就是特征向量，而伸缩的倍数就是特征值。

$$ \mathbf{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} $$

2. 物理意义：稳定性

• 稳定性：在离散迭代系统（$x_{k+1} = Ax_k$）中，$|\lambda| < 1$ 意味着多次变换后向量趋于消失（稳定）；$|\lambda| > 1$ 意味着发散（不稳定）。
• 旋转与投影：
  • 旋转矩阵（实数域内）通常没有实特征值（因为所有向量方向都变了）。
  • 投影矩阵的特征值只能是 1 或 0（因为投影后向量要么不变，要么消失）。

灵魂拷问：投影仪的特征值是多少？

引子例题 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$（这意味着 $\mathbf{A}$ 是一个投影矩阵）。 问题：

1. 不通过计算特征多项式，你能直接说出 $\mathbf{A}$ 的特征值只能是哪些数吗？
2. 证明 $\mathbf{A}$ 一定可以对角化。

【直觉破局】

1. 代数直觉： 特征值方程是 $\mathbf{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。 两边同时左乘 $\mathbf{A}$：$\mathbf{A}^2\boldsymbol{x} = \lambda \mathbf{A}\boldsymbol{x} = \lambda^2 \boldsymbol{x}$。 因为 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$，所以 $\lambda^2 \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。 既然 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$，那只能是 $\lambda^2 = \lambda$，解得 $\lambda = 0$ 或 $1$。

2. 几何直觉（更本质）： $\mathbf{A}$ 是投影变换。想象一下把三维空间的向量投影到桌面上。

   • 如果你本来就在桌面上（$\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}(\mathbf{A})$），投影后还是你自己。长度不变，倍数 $\lambda = 1$。
   • 如果你垂直于桌面（$\boldsymbol{x} \in \mathbf{N}(\mathbf{A})$），投影后就没了。长度变为 0，倍数 $\lambda = 0$。
   • 除了这两个方向，其他向量都会改变方向，所以没有其他特征值。

核心重构：多项式的降维打击与对角化

1. Hamilton-Cayley 定理：矩阵的“宿命”

$$ f(\lambda) = |\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}| \implies f(\mathbf{A}) = \mathbf{O} $$ 这不仅是巧合，更是宿命。矩阵 $\mathbf{A}$ 即使千变万化，最终也逃不出由它特征多项式划定的“牢笼”。矩阵自己竟然是自己特征多项式的根！这意味着：$\mathbf{A}^n$ 可以被 $c_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \dots + c_0 \mathbf{E}$ 线性表示。

核心用途：

• 求逆矩阵：将 $\mathbf{A}^{-1}$ 表示为 $\mathbf{A}$ 的多项式。
• 求高次幂：利用多项式除法计算 $\mathbf{A}^k$ 的余式，把 $\mathbf{A}^{100}$ 降次为低次多项式。
• 零化多项式：它是寻找最小多项式和判断能否对角化的基础。

2. 韦达定理矩阵版：谱的信息压缩

不要傻乎乎地去解行列式求 $\lambda$。记住两个恒等式，它们是检验计算正确性的快速工具：

• 迹 (Trace)：$\sum \lambda_i = \text{Tr}(\mathbf{A}) = \sum a_{ii}$（对角线之和）。
• 行列式 (Determinant)：$\prod \lambda_i = |\mathbf{A}|$。

3. 对角化的终极目标：解耦 (Decoupling)

如果 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，我们可以将 $\mathbf{A}$ 分解为 $\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1}$。 这种分解让矩阵的幂运算变得极简：$\mathbf{A}^k = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda}^k \mathbf{P}^{-1}$。

4. 高阶技巧：交换性与公共特征向量

定理： 如果 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，且 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个互异特征值，那么 $\mathbf{B}$ 可以被对角化，且 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 拥有公共的特征向量。 推论： 这种情况下，$\mathbf{B}$ 甚至可以写成 $\mathbf{A}$ 的多项式 $\mathbf{B} = p(\mathbf{A})$。

✍️ 课后实战：谱映射与秩 1 矩阵

1. （基础计算） 设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，特征值为 $1, -1, 0$。 求行列式 $|\mathbf{A}^3 + 2\mathbf{A} - \mathbf{E}|$ 的值。

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   【直觉】 如果 $\mathbf{A}$ 的特征值是 $\lambda$，那么多项式 $g(\mathbf{A})$ 的特征值就是 $g(\lambda)$。这就像 $\mathbf{A}$ 变身了，它的灵魂 $\lambda$ 也跟着变身。

   【解】 令 $g(x) = x^3 + 2x - 1$。 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda_3=0$。 则矩阵 $\mathbf{B} = \mathbf{A}^3 + 2\mathbf{A} - \mathbf{E}$ 的特征值为：

   • $\mu_1 = 1^3 + 2(1) - 1 = 2$
   • $\mu_2 = (-1)^3 + 2(-1) - 1 = -4$
   • $\mu_3 = 0^3 + 2(0) - 1 = -1$

   $\mathbf{B}$ 的行列式等于其特征之积： $$ |\mathbf{B}| = \mu_1 \mu_2 \mu_3 = 2 \times (-4) \times (-1) = 8 $$

2. （经典结论） 已知 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩为 1（$r(\mathbf{A})=1$）。 证明特征多项式为：$|\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}| = \lambda^{n-1}(\lambda - \text{Tr}(\mathbf{A}))$，并由此计算 $|\mathbf{A} - \mathbf{E}|$。

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   【证】

   1. 特征值分布： 因为 $r(\mathbf{A})=1$，说明 $\mathbf{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间（零空间）维数为 $n-1$。 这意味着 $\lambda = 0$ 是 $n-1$ 重特征值。
   2. 利用迹定最后一个特征值： 设第 $n$ 个特征值为 $\lambda_n$。由 $\sum \lambda_i = \text{Tr}(\mathbf{A})$，得： $$ 0 + \dots + 0 + \lambda_n = \text{Tr}(\mathbf{A}) \implies \lambda_n = \text{Tr}(\mathbf{A}) $$ 所以，$\mathbf{A}$ 的特征值为 $\text{Tr}(\mathbf{A}), 0, \dots, 0$。
   3. 写出特征多项式： $$ |\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}| = \prod (\lambda - \lambda_i) = (\lambda - \text{Tr}(\mathbf{A})) \cdot (\lambda - 0)^{n-1} = \lambda^{n-1}(\lambda - \text{Tr}(\mathbf{A})) $$
   4. 计算 $|\mathbf{A} - \mathbf{E}|$： 利用特征值性质，$\mathbf{A}-\mathbf{E}$ 的特征值为 $\lambda_i - 1$。 即：$\text{Tr}(\mathbf{A})-1, -1, \dots, -1$（共 $n-1$ 个 -1）。 $$ |\mathbf{A} - \mathbf{E}| = (\text{Tr}(\mathbf{A}) - 1) \cdot (-1)^{n-1} $$

3. （概念挑战） 设 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，且 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，证明 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的多项式。

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   【思路】 这是“双中心化子定理”的一个特例。核心逻辑在于 $\mathbf{A}$ 的特征子空间都是一维的，且 $\mathbf{B}$ 必须保持这些子空间不变。

   【证】

   1. 设 $\mathbf{A}\boldsymbol{p}_i = \lambda_i \boldsymbol{p}_i$，其中 $\lambda_i$ 互异，$\boldsymbol{p}_i$ 为对应的特征向量。
   2. 由 $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$，考察 $\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i$： $$ \mathbf{A}(\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\boldsymbol{p}_i) = \mathbf{B}(\lambda_i \boldsymbol{p}_i) = \lambda_i (\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i) $$ 这说明 $\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i$ 也是 $\mathbf{A}$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。
   3. 因为 $\lambda_i$ 互异，对应的特征子空间是一维的，所以 $\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i$ 必须与 $\boldsymbol{p}_i$ 共线。 即存在标量 $\mu_i$，使得 $\mathbf{B}\boldsymbol{p}_i = \mu_i \boldsymbol{p}_i$。这意味着 $\mathbf{A}$ 的特征向量也是 $\mathbf{B}$ 的特征向量。
   4. 利用 Lagrange 插值多项式，构造一个多项式 $g(x)$，使得 $g(\lambda_i) = \mu_i$（对所有 $i=1,\dots,n$）。 于是对于所有特征向量 $\boldsymbol{p}_i$，都有： $$ g(\mathbf{A})\boldsymbol{p}_i = g(\lambda_i)\boldsymbol{p}_i = \mu_i \boldsymbol{p}_i = \mathbf{B}\boldsymbol{p}_i $$ 由于 $\boldsymbol{p}_i$ 构成基，所以 $g(\mathbf{A}) = \mathbf{B}$。

总结

掌握特征值与特征向量，关键在于建立**“算子作用于空间”**的动态图像。

• 初级阶段：会解 $|\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}|=0$。
• 中级阶段：熟练运用 Trace、Rank 和 Hamilton-Cayley 定理简化计算。
• 高级阶段：理解矩阵的空间分解（如直和分解、Jordan 块），并能处理 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$ 这类涉及算子结构的抽象问题。