基础八大金刚（必背）
1. $\sin x \sim \underline{\quad x \quad}$
2. $\tan x \sim \underline{\quad x \quad}$
3. $\arcsin x \sim \underline{\quad x \quad}$
4. $\arctan x \sim \underline{\quad x \quad}$
5. $\ln(1+x) \sim \underline{\quad x \quad}$
6. $e^x - 1 \sim \underline{\quad x \quad}$
7. $1 - \cos x \sim \underline{\quad \frac{1}{2}x^2 \quad}$ （强调：这是考点之王！）
8. $(1+x)^\alpha - 1 \sim \underline{\quad \alpha x \quad}$ （举例：$\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{1}{2}x$）
广义化训练 $x$ 可以是一坨东西，只要这坨东西趋于0。
- $\sin(3x) \sim \underline{\quad 3x \quad}$
- $\ln(1 + x^2) \sim \underline{\quad x^2 \quad}$
- $e^{\sin x} - 1 \sim \underline{\quad \sin x \sim x \quad}$
- $1 - \cos(\sqrt{x}) \sim \underline{\quad \frac{1}{2}(\sqrt{x})^2 = \frac{1}{2}x \quad}$

使用铁律：

只能用于乘除，不能用于加减。

典型例题：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} $$

第六式：复合函数处理法（先算“里层”）

适用场景：

指数里有极限
对数里有极限
三角函数里再套函数

思维顺序：

像剥洋葱一样，从里往外。

典型例题： $$ \lim_{x\to 0}\sin(x^2), \quad \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} $$

第七式：分段函数分析法（极限存在性的裁判）

适用判型：

分段函数
问“极限是否存在”

唯一标准： $$ \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x) $$

教学强调：

极限 ≠ 函数值，这是很多学生的“第一误区”。

第三部分：特殊型极限攻坚 ($1^\infty$ 型)

1. 核心公式

$$ \lim u^v = e^{\lim v(u-1)} $$ （前提：$u \to 1, v \to \infty$）

2. 母题精讲

题目：$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x+1}$

步骤：
1. 判型：$1^\infty$。
2. 写公式：$\lim u^v = e^{\lim v(u-1)}$。
3. 计算 $u-1$：$\frac{2x+3}{2x+1} - 1 = \frac{2}{2x+1}$ （强调通分）。
4. 计算指数极限：$(x+1) \cdot \frac{2}{2x+1} \to 1$。
5. 结果：$e^1 = e$。

3. 变式训练

变式题 1（基础版）： $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+5}{x+2} \right)^{x} = e^3$
- 解析：$u-1 = \frac{3}{x+2}$，指数 $x \cdot \frac{3}{x+2} \to 3$。
变式题 2（系数变化版）： $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)^{2x+1} = e^{-2}$
- 解析：$u-1 = \frac{-3}{3x+2}$，指数 $(2x+1) \cdot \frac{-3}{3x+2} \approx \frac{-6x}{3x} = -2$。
变式题 3（趋向于0版，难一点）： $\lim_{x \to 0} (1 - 2x)^{\frac{3}{x}} = e^{-6}$
- 解析：直接用公式，$v(u-1) = \frac{3}{x} \cdot (-2x) = -6$。

第四部分：进阶利器——洛必达法则

1. 为什么要学洛必达？

当你发现：

因式分解不了
有理化也走不通
等价无穷小只能“看阶数”

这时才轮到洛必达法则登场。

2. 预备知识：求导公式表

$(\ln x)' = \underline{\quad \frac{1}{x} \quad}$
$(e^x)' = \underline{\quad e^x \quad}$
$(\sin x)' = \underline{\quad \cos x \quad}$
$(\cos x)' = \underline{\quad -\sin x \quad}$ （强调负号！）
$(\tan x)' = \underline{\quad \sec^2 x = 1+\tan^2 x \quad}$ （高频考点）
$(\arctan x)' = \underline{\quad \frac{1}{1+x^2} \quad}$
$(\arcsin x)' = \underline{\quad \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad}$

3. 场景一：标准 $\frac{0}{0}$ 型

母题精讲

题目：$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

强调陷阱：
- “能不能把 $x-\sin x$ 里的 $\sin x$ 换成 $x$？” —— 绝对不能，因为减法不能代换。
解析：
- 求导：$1 - \cos x$。
- 代换：$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。
- 再求导分母：$3x^2$。
- 结果：$\frac{1/2 x^2}{3x^2} = \frac{1}{6}$。

变式训练

变式题 1（三角代换版）： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$
- 讲解：求导一次 $\to \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \sim x^2$。分母求导 $3x^2$。结果 $1/3$。
变式题 2（指数函数版）： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
- 讲解：求导一次 $\to e^x - 1 \sim x$。分母求导 $2x$。结果 $1/2$。
变式题 3（对数函数版）： $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2-1}$ （注意这里 $x \to 1$）
- 讲解：求导 $\to \frac{1/x}{2x} = \frac{1}{2x^2}$。代入 $x=1$。结果 $1/2$。

4. 场景二：其他不定式转化 ($0 \cdot \infty$ 与 $\infty - \infty$)

1. $0 \cdot \infty$ 型（搬家法）

题目：$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

口诀：“谁简单谁搬家，通常把幂函数($x$)搬到分母变成 $x^{-1}$”。
板书： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \xrightarrow{L} \lim \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim (-x) = 0 $$

2. $\infty - \infty$ 型（通分法）

样卷对标：$\lim_{x \to 1} \left( \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} \right)$

教学强调：看到减号，分母又不同，第一反应必须是通分，千万别直接对两项分别求导！
板书演示：
1. 公分母：$1-x^2 = (1-x)(1+x)$。
2. 通分：$\frac{2 - (1+x)}{1-x^2} = \frac{1-x}{(1-x)(1+x)}$。
3. 约分：$\frac{1}{1+x}$。
4. 代入：$1/2$。

变式练习（经典难题）： $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1})$

解析：通分 $\to \lim \frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$。
关键步：分母代换 $x(e^x-1) \sim x^2$。
转化：变成 $\lim \frac{e^x-1-x}{x^2}$（上文已解，结果 $1/2$）。

5. 场景三：变上限积分求导（洛必达的高阶应用）

核心口诀与公式

$$ \mathrm{d} \int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d}t = f(g(x)) \cdot g'(x) \ \mathrm{d}x $$

(注：原公式此处习惯写法为求导运算 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$，若仅写微分 $\mathrm{d}$，则右侧需保留 $\mathrm{d}x$)

【口诀教学】：

去帽子：去掉积分号 $\int$。
换芯子：把里边的 $t$ 全部换成上限 $g(x)$。
拖尾巴：千万别忘了乘以上限的导数 $g'(x)$！

真题实战

题目：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2) \mathrm{d}t}{x^3}$

板书演示步骤：
1. 判型：$\frac{0}{0}$ 型。直接洛必达！
2. 分子求导（关键）：
  - 去帽子，换芯子 $\implies \sin(x^2)$。
  - 拖尾巴：$(x)'=1$。
3. 分母求导：$3x^2$。
4. 计算极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{3x^2} \sim \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3} $$

陷阱变式训练

题目：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} e^t \mathrm{d}t}{x^2}$

易错点预警：很多学生会算出 $\frac{e^{x^2}}{2x}$，错！
正确解析：
- 分子求导：$e^{x^2} \cdot \mathbf{(x^2)'} = e^{x^2} \cdot 2x$。
- 分母求导：$2x$。
- 结果：$\lim \frac{e^{x^2} \cdot 2x}{2x} = 1$。

微积分三大计算专题：极限计算全攻略