微积分公式 Hack：基本初等函数导数与微分的统一记忆法

很多人刚学一元微分学时，总觉得有两套大表要背：一套导数表，一套微分表。十几行公式排在一起，容易让人心生烦躁。

其实这两套表压根不需要分开记。导数和微分是同一枚硬币的两面：理清 $\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$ 的对偶关系，抓住几条对称规律，所有公式都能现推现写。而且记微分这一版更划算——后面积分里用的从来就是它。

要点速览

1. 一张表记两套公式：$\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$ 两端同乘 $\mathrm{d}x$，导数表变微分表；同除 $\mathrm{d}x$，微分表还原导数表。
2. 负号只归一条规则管：凡 co- 开头（$\cos$、$\cot$、$\csc$、$\arccos$、$\operatorname{arccot}$），微分一律带负号，其余为正。
3. 两条运算微分：$\mathrm{d}(uv) = u\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}u$ 移项就是分部积分公式；$\mathrm{d}(1/v) = -\mathrm{d}v/v^2$ 是凑微分的高频核。
4. 一个占位符通吃：一阶微分形式不变性 $\mathrm{d}(f(\Box)) = f'(\Box)\,\mathrm{d}\Box$，把 $x$ 换成任何可微表达式，基本公式照用。

核心纽带：两微分之真正的商

我们常写导数 $f'(x) = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，也常写微分 $\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$。这两者究竟是什么关系？

• 导数：$f'(x)$ 描述的是变化率（切线斜率，标量数值）。
• 微分：$\mathrm{d}y$ 描述的是切线方向上的线性增量（以直代曲的主部，带有几何与物理量纲）。

莱布尼茨写下 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 绝非随意拼凑的符号。在一阶微分学中，它就是因变量微分 $\mathrm{d}y$ 与自变量微分 $\mathrm{d}x$ 真正的商。

两端同乘 $\mathrm{d}x$，求导立刻化为微分；两端同除 $\mathrm{d}x$，微分立刻还原为导数。

为什么必须突出“微分格式”？

在求导章节，大家习惯写 $y'$；但一进入复合函数求导、参数方程，特别是第四章不定积分的凑微分法（第一类换元积分），单纯的导数记号就显得笨拙了。

在积分号下，你几乎永远碰不到孤立的 $f'(x)$，你看到的永远是 $f'(x)\,\mathrm{d}x$。能否一眼看出：

• $\dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \mathrm{d}(\ln x)$
• $\dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \mathrm{d}(\arctan x)$
• $\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \mathrm{d}(\arcsin x)$

这直接决定了做积分题是“秒杀”还是“卡壳”。因此，熟练掌握微分格式，是打通求导与积分的关键一步。

基本初等函数速查与记忆法则

我们把公式拆为四大函数族，并将导数与微分并列对照。注意右列微分格式中，我们直接采用实际计算里最紧凑的写法（如将 $\mathrm{d}x$ 提至分子）。

1. 常数与幂函数族

2. 指数与对数函数族

3. 三角函数族：Co- 负号法则与形态演变

三角函数的导数看似繁杂，其实只需要记住两条规律：

1. “Co-” 负号法则：凡是以字母 co- 开头的三角函数（余弦 $\cos$、余切 $\cot$、余割 $\csc$），求导与微分一律带负号！不带 co- 的三个（$\sin$、$\tan$、$\sec$）结果全部为正。
2. 形态演变规律：
   • 正余弦互换：$\sin \to \cos$，$\cos \to -\sin$；
   • 正余切出平方：$\tan \to \sec^2$，$\cot \to -\csc^2$；
   • 正余割“买一送一”：$\sec \to \sec\tan$，$\csc \to -\csc\cot$。

4. 反三角函数族：互补对称与无理核

反三角函数的导数同样只靠两条规律：

1. “Co-” 规律继续生效：$\arccos$ 与 $\operatorname{arccot}$ 同样带负号。
2. 互补对称性： $$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \implies \mathrm{d}(\arcsin x) + \mathrm{d}(\arccos x) = 0$$ 两者导数与微分互为相反数，只需要记正的那一个，带 co- 的直接添上负号。同理 $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$（本文取 $\operatorname{arccot} x \in (0, \pi)$ 的常用约定，此时互补恒等式对一切 $x$ 成立）。

运算法则的微分形式：乘积律、商法则与分部积分之源

掌握了基本初等函数的微分，下一步就是运算法则。很多人在高中背过：

• 积的导数：$(uv)' = u'v + uv'$
• 商的导数：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

写成微分形式后，这两条法则更对称，也正好是后面积分学里分部积分法与倒数核积分的源头。

1. 乘积法则（Leibniz 乘积律）

两端同除以 $\mathrm{d}x$，立刻还原为经典的导数公式 $(uv)' = u v' + v u'$。

为什么必须写成微分格式？

1. 它是分部积分的直接母体： 将乘积微分两端移项，再套上积分号： $$u\,\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v\,\mathrm{d}u \implies \int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$$ 很多同学学到不定积分时，总觉得分部积分公式“凭空冒出”、正负号容易搞混。其实它根本不是新东西，它就是乘法微分法则的移项！
2. 对数相对增量直观： 两端同除以 $uv$： $$\frac{\mathrm{d}(uv)}{uv} = \frac{\mathrm{d}u}{u} + \frac{\mathrm{d}v}{v} \iff \mathrm{d}\ln(uv) = \mathrm{d}\ln u + \mathrm{d}\ln v$$ 乘积的相对微分增量，等于各自相对微分增量之和。遇到三项连乘时，直接写 $\dfrac{\mathrm{d}(uvw)}{uvw} = \dfrac{\mathrm{d}u}{u} + \dfrac{\mathrm{d}v}{v} + \dfrac{\mathrm{d}w}{w}$，比一层层套导数展开清晰得多。

2. 商法则与倒数特例

两端同除以 $\mathrm{d}x$，即还原为 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。

记忆与避坑要领：

• 分子先微谁？ 口诀是“分母乘子微，减去分子乘母微”（分母不动 $\times \mathrm{d}u$ 开头）。
• 负号在谁头上？ 负号一定跟在分母的微分 $\mathrm{d}v$ 前面。因为除以 $v$ 本质上是乘 $v^{-1}$，负指数求导自然带出负号。
• 极高频特例（倒数微分）： 当分子是常数 $1$ 时： $$\mathrm{d}\left(\frac{1}{v}\right) = -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}$$ 在积分中，只要看到分母是平方结构、分子有对应微元，第一反应就是倒数微分： $$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} + C$$

运算法则速查与对照

一阶微分形式不变性：占位符 $\Box$ 视角

微分记号真正的优势，来自一条定理：一阶微分形式不变性。

无论自变量是基础变量 $x$，还是复杂的复合中间变量 $u$（比如 $u = x^2+1$），微分的形式结构永远保持不变：

把上面公式里的 $x$ 换成任意可微表达式 $\Box$，规则照常成立：

• $\mathrm{d}(\sin \Box) = \cos \Box\,\mathrm{d}\Box$
• $\mathrm{d}(\ln \Box) = \dfrac{\mathrm{d}\Box}{\Box}$
• $\mathrm{d}(\arctan \Box) = \dfrac{\mathrm{d}\Box}{1+\Box^2}$

实战对照：从求导到凑积分

感受一下这套思维在解题时的流畅度：

• 正向复合求导： $$\mathrm{d}\left(\ln(1+x^2)\right) = \frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{2x\,\mathrm{d}x}{1+x^2}$$
• 逆向凑微分积分： $$\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

正反完全在同一套语言里流通。

结语

学微积分最忌讳把公式背成孤岛：求导一张表，微分一张表，到积分再当新公式重背一遍。

把 $\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$ 当主干，配上 Co- 负号法则和几条对称性，这十几行公式就是从一条对偶关系里长出来的推论，不必逐条死记。平时演算多写两笔微分算子 $\mathrm{d}$，凑微分的直觉就是这样一点点练出来的。

常见问题（FAQ）

微分和导数到底该记哪一个？

记微分版 $\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$。导数版两端同乘 $\mathrm{d}x$ 随时可得，而凑微分积分里出现的正是微分格式——记微分，两个方向都有了。

Co- 负号法则具体覆盖哪些函数？

六个三角函数与四个反三角函数中，凡 co- 开头的——$\cos$、$\cot$、$\csc$、$\arccos$、$\operatorname{arccot}$——微分一律带负号，其余结果为正。

一阶微分形式不变性是什么意思？

对可微函数 $f$，无论 $\Box$ 是自变量 $x$ 还是中间变量 $u = g(x)$，都有 $\mathrm{d}(f(\Box)) = f'(\Box)\,\mathrm{d}\Box$。基本公式里的 $x$ 可以整体替换成任何可微表达式，不需要另造一套复合公式。

分部积分公式为什么不用另背？

它是乘积微分法则的移项：由 $\mathrm{d}(uv) = u\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}u$ 得 $u\,\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v\,\mathrm{d}u$，两端加积分号即 $\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$。